الإحداثيات القطبية الكروية

* ومنها يمكن إثبات الخصائص التالية (سنكتفي بإثبات واحدة من كل خاصية):
1. طول أي متجه وحدة يساوي الواحد الصحيح، حيث:

2. الضرب القياسي، حيث:

3. الضرب الإتجاهي، حيث:

4. العلاقات العكسية التالية:

* أما صور المؤثرات التفاضلية المختلفة فنحصل عليها من خلال التعويض بالمعادلات (31) و (32) في المعادلات المقابلة، أي:
1. المجال:

2. التباعد:

3. اللابلاسيان:

4. الدوران:

5. عنصر الطول:

* وعليه يكون عنصر الطول في الإحداثيات القطبية هو:

حيث

6. عنصر المساحة:

7. عنصر الحجم:

على النحو التالي:


<>

<>

وبالتعويض بالمعادلات (33) و (34) في المعادلات (42)، نحصل على:

حيث:

ولكن:

و:

لذا فإن متجه السرعة في الإحداثيات الكروية هو: